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電気抵抗を並列接続したときの合成抵抗値

キルヒホフの法則(またはキルヒホッフの法則)の適用


電気抵抗値がAとBの二つの抵抗を並列に接続したときの
合成抵抗値の求め方です。

公式によれば、
合成抵抗値は A×B/(A+B) ですが、
この公式の求め方を考えてみましょう。
下図のような電気回路を作り、電流(赤線)がこのように流れていると仮定します。
左側が I1で右側が I2 です。
実際にこのように流れているかは判りません。


この回路に、「キルヒホフの法則(またはキルヒホッフの法則)」を適用します。
キルヒホフの法則は電流と電圧の法則があります。

電流の法則は、たとえば上図P点に流れ込む電流とP点から出る電流の和は
0(ゼロ)というものです。

電流は一箇所に留まっていられないものですから、
入る量と出る量の和が0になるのは当然です。

電圧の法則は、閉じた電気回路内で電流を一方向にとったときに
各部に起きる電圧の和は0(ゼロ」になるというものです。

上図の電気回路で言うと、左側の、電池と抵抗Aで作られた閉じた回路においては、抵抗Aの両端の電圧と電池の電圧を足すと0になります。
右側の、抵抗Aと抵抗Bで作られた閉じた回路においては、
抵抗Aの両端の電圧と、抵抗Bの両端の電圧を足すと0になります。
電流の向きを考えることが重要です。
電流の向きが逆になれば、プラスだった点がマイナスになり、
マイナスだった点がプラスになるので、各部の電圧を足したら0ということになるのです。

では、実際に計算してみます。
求めたいのは抵抗Aと抵抗Bを並列に接続したときの合成抵抗です。
このときの合成抵抗は、オームの法則から「E÷I1」 ですから、I1 を求めます。

上図の左側の閉じた回路にキルヒホフの電圧法則を適用します。
ここでは I1 の電流の向きを正として、
 
E =(I1−I2)×A  ・・・式1
となります。

次に右側の閉じた回路にもキルヒホフの電圧法則を適用します。
ここでも、 I1 の電流の向きが正です。
 
(I1−I2)×A−I2×B=0 ・・・式2

キルヒホフの電流法則によって、
この電気回路には 電流I1 と 電流 I2 の他には電流は存在せしません。

式1と式2から 電流 I1 を求めるのは簡単ですね。
二つの式を連立させて解くだけです。

電流 I1 = E × (A+B)÷(A×B)
故に、合成抵抗は E÷ I1=(A×B)÷(A+B) となります

キルヒホフの法則は、電気回路・電子回路の解析に便利に使えるものです。
回路が複雑になると方程式がたくさん出来ますが、
連立方程式はコンピューターで解くのに適しています。


ところで、抵抗の並列接続はもっと簡単に求められます
抵抗Aの両端の電圧は、抵抗Aを流れる電流 I1 、抵抗Bを流れる電流 I2 とし、
二つの抵抗の両端の電圧は電池の電圧Eと等しく、
抵抗を流れる電流の向きも同じなので
 E=I1 ×A ・・・式3
 E=I2 ×B ・・・式4
 電池から二つの抵抗に流れる電流 I は I1 + I2 なので
 式3、式4を変形して
 I = I1 + I2
  =E÷A+E÷B
  =E×(1÷A+1÷B)
故に
 合成抵抗はE÷I=A×B÷(A+B)
 


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