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モアレとは?

身近な自然と科学 Vol.116 【モアレ】より

先日、小さな液晶ディスプレイに表示されるキャラクターを、デジタルカメラのムービー機能で撮影したのですが、“モアレ縞”が出て失敗してしまいました。

テレビに縞模様が映ると別の縞が現れて観にくくなることがありますが、この縞のことを“モアレ縞”と呼びます。
イメージスキャナーで雑誌の写真を取り込んだときにも、モアレ低減スイッチOFFでは縞模様が出ることがありますし、簾や細かい格子戸を越しに、別の簾や格子戸を覗き込みながら移動しても縞が見えます。これらもモアレ縞です。

岩波書店の『理化学辞典』には
2つの周期的な強度分布を持つ模様を重ね合わせたときに、 それらの交点を結ぶ間隔の粗い模様がモアレ”とあります。

モアレという理由ですが、培風館の『物理学辞典』には、
布にローラーで圧力を掛けて目を潰す仕上げ加工を、フランス語でモワール(moire)といい、転じて、そのような加工を受けて光った部分と光を散乱する部分ができ、縞模様を呈するリンネルをもこの名で呼ぶ・・・”とあります。

次は、モアレ縞を数式的に考えてみましょう。
理化学辞典にあるような周期的な強度分布を持つ模様Aを、
「明暗明暗明暗・・・・明暗明暗明暗」
という直線上のもので表して、明と明の間隔(或いは暗と暗の間隔)をaとします。
これは日光が簾や格子戸に当たって作る影を影に直角に直線で切ったものと同じです。
模様はもうひとつ必要ですから同じようなものBを用意しますが、明と明の間隔(或いは暗と暗の間隔)をbとします。

模様の明暗の強度分布は正弦関数に従うと考えて模様を数式で表すと波を表す式と同じになり、
模様A=k(1+SIN(2πx/a))
模様B=K(1+SIN(2πx/b))

但し、kは振幅の大きさを表す定数
 xは基準点からの変位
 πは円周率
“1”を加えているのは振幅の大きさが負になるのを防ぐためで、今回の計算ではどうでもいい数値ですが。

計算が面倒なのでk=1として
模様A=1+SIN(2πx/a)・・・式2
模様B=1+SIN(2πx/b)・・・式3

模様Aと模様Bを合わせると(式2+式3)
A+B=1+SIN(2πx/a)+1+SIN(2πx/B)
=2+2*SIN[πx(1/a+1/b)]*SIN[πx(1/a-1/b)]  ・・・式4

上式4で表される波が私たちの目に飛び込んでくることになります。
式4の第2項の最初の部分、2*SIN[πx(1/a+1/b)] は無線通信などでいうところの搬送波(キャリア)に相当します。
搬送波というのは、信号を運ぶ波で、ラジオなら周波数を合わせる電波です。
式4の搬送波の周波数は (1/a+1/b)/2  となります。
というのは、(2πx)×○の“○”の部分が周波数を表しますから2で割って合わせます。

式4第2項の後半部分、SIN[πx(1/a-1/b)] は信号部分に相当します。
信号の周波数は、(1/a-1/b)/2 となります。
ラジオ電波の場合ですと、この部分が変化して音声や音楽を送る訳です。

話題にしているモアレ縞は、低い周波数である信号部分を眼が感じていることになりますが、搬送波である高い周波数から信号部分を分離しなければ見えません。
この作業を“検波”と呼びます。
ラジオなどでは半導体で行いますが、人間の眼の場合には、光の強さと光に対する感応性が比例しない部分による二乗検波によって行われます。
簡単に言うと搬送波が歪んで二乗され、その結果、信号部分が分離されるのです。

ですから、模様を合わせて出来るモアレは条件によっては信号が分離されないこともあり、モアレ縞が見えないことも多いようです。
このように模様を合わせて出来るモアレを“和のモアレ”と呼びます。

次は、もっと嫌なモアレ“積のモアレ”に移ります。
嫌というの目立って邪魔ということです。
積のモアレは、格子戸越しに別の格子戸を覗くような場合に現れます。

早速計算してみましょう、前に挙げた
模様A=1+SIN(2πx/a)・・・式2
模様B=1+SIN(2πx/b)・・・式3
を、例えば格子戸を透過してきた光と考え、模様Aと模様Bを掛けます

A*B=[1+sin(2πx/a)]*[1+sin(2πx/b)]
=1+sin(2πx/b)+sin(2πx/a)+sin(2πx/a)*sin(2πx/b)
=1+sin(2πx/b)+sin(2πx/a)+cos[2πx(1/a-1/b)]/2-cos[2πx(1/a+1/b)]/2
・・・・式5

モアレと感じるのは、式5第4項、cos[2πx(1/a-1/b)]/2 です。
積のモアレの場合は、和のモアレと違い検波しなくても分離されているので素直に見えます。

さて、ここまでの計算でお気付きと思いますが、モアレは周波数が僅かに異なる2つの音波が作る“うなり”の光版とも言えます。

液晶画面をデジタルカメラのムービー機能で撮影した際にモアレの出現で失敗した話に戻ります。
液晶ディスプレイは、バックライトからの光の透過を制御する素子が縦横に並んでいる格子で、一方デジタルカメラの撮影素子も光を電気に変える素子が、縦横に並んでいる格子の為に積のモアレが生じます。

テレビ画面に出るモアレは、映っている縞模様とそれを映す為の走査線によって起こります。

モアレを除去する方法ですが、積のモアレは式5で解るように低い周波数にあるモアレ成分が分離されているので、これをフィルターで除去すると、本来の被写体まで除去されてしまいます。

一方、和のモアレは、モアレ成分が高い周波数に乗っているので、高域成分を除去するフィルターを通せば除去できる可能性があります。


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